[스크랩] 라디안(호도법) 쉽게 이해하자

 

       라디안(호도법) 쉽게 이해하자.

 

 

1. 왜 각도를 쓰면 되지 라디안(호도법)이란걸 만들어서 우릴 괴롭히나?

 

한마디로 얘기하면, 각도로 해보니 여러가지로 불편한 점이 많았다는 것이다.

수학, 물리 등에서 여러 가지로 활용하는데 각도로 표현하면 도저히 불편해서

못쓰겠다는 것이였고, 어느 수학자가 라디안법을 제안했는데 이것이 써보니

[왔따]였다는 거다. 그래서 라디안을 쓰게 된것이다.

 

특히 수학이나 물리에서 sin(x)에서 x가 라디안이고 매우 작은 값일때

sin(x) = x와 거의 같아져서 x로 대입해서 풀 수 있는 등 여러 장점이 있다.

 

이런 장점때문에 수학,물리 등에서 수식을 전개하는데 라디안을 사용하고

각도가 필요할때는 변환식을 사용 언제든지 각도로 바꿀수 있게 되였다.

 

중,고 수준에선 이쯤으로 정리하는게 정신건강에 좋을 듯 싶다.

 

 

 

2. 그렇다면 라디안은 어떻게 정의하나.

 

마구잡이로 각도를 어떤걸로 변환할수는 없다.

각도와 라디안은 어떤 변하지 않는 관계가 있어야한다.

그래야 사람들도 아 이런 관계이니 믿을만 하다고 믿고 쓸것아닌가.

 

그렇다면 이제 각도와 어떤 관계식(비례식이면 금상첨화)이 있는지를 찾아 보자.

 

라디안 정의를 보면 원을 이용해서 각도와 라디안과의 관계를 찾고 있으니,

우리도 열심히 따라가 보면서 생각하자.

사실 원을 이용하는게 필연적이라고 할 수 있다.

 

우선, 원의 둘레의 길이 즉, 원주를 구하는 공식을 알고 있을것이다.

원주= 2∏R

 

 

3. 원주에는 왜  ∏(파이)가 있나

 

여기서 왜 원주에 2∏라는 값이 나왔는지 생각해보자.

옛날부터 인류는 원에 대해 매우 관심이 많았다.

그래서 동서양을 막론하고 사람들은 원에 대한 여러 실험들을 해봤다.

 

어떤 사람이 막대기의 한끝을 잡고 땅에다 대고 쭉 가면서 돌려서 원을

그렸다. 그리고 그 원의 둘레인 원주의 길이를 알고 싶어서 [줄]을 이용해

그 원둘레 길이를 재서 막대기와 비교해봤다.

그러니 원둘레 길이(줄의 길이)가 반지름(막대기길이)의 6.몇배가 되었다.

 

이번엔 다른 막대기로 같은 과정을 반복하니 역시 원주가 반지름의 6.몇밴게

아닌가.

 

옳다구나 이번에 또다른 막대로 해봐도 역시 6.몇이였다.

 

다시 자세히 보니 6.몇은 정확기 2로 나누어 떨어지는 수로 보였다.

 

정확한 값은 잘 알 수 없었지만, 여기서 인류는 원주의 길이는 원의 반지름(막대)

길이에 비례하고 그 비는  2곱하기 3.몇 배란는것을 알게 된 것이다.

 

이후 인류에게 던저진 과제는 그 정확한 원주와 반지름간의 비율 즉, 우리가 알고

있는 파이의 정확한 값을 구하는 것이였다.

 

여기에 도전한 사람들이 기하학자들이였다.

 

고대 기하학자들은 당시 알려진 삼각형 계산법

을 이용하여 원에 접하는 정다각형을 그려서

정확한 파이 값을 구하려했지만, 원에 접하는

정다각형을 많이 만들면 만들수록 보다 근접한

파이값을 구할 수 있다는 것 까진 알아 냈지만,

정확한 값은 구할 수 없었다.

오른쪽 그림에서 파란부분의 합을 구하면

원주가 되고 그때의 반지름은 알고 있는 값이므로  ∏의 근사값을 구할 수 있다.

 

파이에 대한 얘기는 이글 주제를 벗어나는건데, 암튼 이후 오랜시간이 걸려 파이가

분자와 분모가 정수로 이뤄진 유리수로 나타낼수 없는 무리수이며 그 중에서도

초월수(대수방정식의 해가 될수 없는 수)인 것을 밝혀 냈다.

 

근세의 수학사를 보면 최대한 빨리 정확한 파이에 수렴하는 식을 구하는데 열중했고,

수학의 왕자인 가우스에 와서 파이의 정밀도가 크게 높아지게 됐다.

 

여튼 우리가 지금 알아야 하는 것은 원주는 반지름이 커지면 그에 비례해서 커진다는

것과 그때의 비례값은 2곱하기 3.몇이며 이때의 3.몇을 우리는 파이로 부른 다는 것이다.

 

수식으로 깔끔하게 정리하면

원주= 2∏R  

이제 이 원주식을 이용해서 각도와의 관계를 구해보자.

 

 

4. 라디안 일병 구하기

 

앞전에 막대기를 한바퀴 돌려서 온전한 원을 그렸는데 이번엔 반만 돌려서 반원의 둘레를

구한다면 반원둘레는 원주의 정학히 반이 된다.

 

한바퀴를 돌렸다는 의미는 곧 각도로 나타내면 360이고 반바퀴는 180도이다. 따라서 우리는

돌리는 각도의 정도에 따라 둘레의 길이도 비례한다는 것을 알수 있다.

  

회전각도	둘레의 길이
360	2∏R
180	2∏R × 1/2 = 2∏R ×  180/360
90	2∏R ×  1/4 = 2∏R ×  90/360
45	2∏R ×  1/8 = 2∏R ×  45/360
3	2∏R ×  1/120 = 2∏R ×   3/360
2	2∏R ×  1/180 = 2∏R ×   2/360
1	2∏R ×  1/360 = 2∏R ×   1/360

    *중.고학생을 위한 추가설명 : 맨 하단 참고

 

각도에 따른 둘레의 길이를 식으로 정리하면

 

각도에 따른 둘레의 길이(호,ℓ) =   2∏R × 각도/360

               =   ∏R ×  각도/180

               =  R( ∏×각도/180)

 

위 결과는 우리가 예상하는 호의 길이는 반지름 R에 비례하고 각도에 비례한다는 걸

알수있다. 또한 그때의 비례상수는  ∏/180임을 알수 있다.

 

 

위 식에서 ∏×각도/180 = θ라 두면

 ℓ = r × θ가 된다.

 

이때 θ는 각도/각도(180)이 되여

각도가 사라진 무차원 수가 된다.

 

이식이 라디안을 정의하는 식이 된다.

 

 

 

 

 

 

 ℓ이 원주 길이인  2∏R이라면

 2∏R = R × θ이므로 θ = 2∏이고 이를 각도로 나타내면 위의 정의에서

 θ= ∏×각도/180 

 2∏ =  ∏×각도/180

각도 = 360

 

설명하고보니 오히려 이해하기 더 어렵게 만든게 아닌지 모르겠다.

 

직관적으로 이해하자면,

 

각도가 0에서 시작해서 커질수록 호의 길이는  그 각도와 반지름에

비례할것은 자명할 것이므로, 호의길이(ℓ) = R × 각도 × 비례상수로

둘 수 있고 그때의 라디안세타(θ)=각도 × 비례상수라 하면,

 

호의길이(ℓ) = R × θ되고 이때의 θ와 원주와의 관계식을 구해보면

360도일때 원주 길이 = 호의 길이 이므로

 2∏R =  R × θ

 θ(360도 일때 ) =  2∏

 

각과 라디안세타는 비례관계이므로,

 

임의의 각 x˚때의 라디안세타값은

 θ(x˚)=  2∏  × 전체각도(360)에서 그때 x의 각도비

        =   2∏  × x˚/360

        =   (∏/180) × x˚

결국 우리가 구하는 비례상수는 ∏/180 임을 알수 있다.

 

예) 30도의 라디안은 30도에 비례상수 ∏/180 를 곱하면된다는게 우리의 결론이다.

      θ(x˚) =   (∏/180) × x˚

      θ(30˚)=   (∏/180) × 30˚

   =  ∏/6

 

 

ㅁ중.고 학생을 위한 추가설명ㅁ

 

만약 엄청 큰 피자가 한판이 있는데 친구 120명에게 공평하게 나눠줘야한다면,

 (단, 피자는 완전한 원형이고 이때 피자의 반지름이 1미터)

 

방법1)원의 면적이용

 

   피자면적/120 = 친구 한명당 돌아가는 피자면적

  피자의 반지름이 1이므로 면적은 ∏곱하기 R의 제곱에서 면적은 = ∏

 결국 친구 한명당 ∏/120인 면적은 쉽게 구할수 있으나 어떻게 잘라야 면적을

 ∏/120으로 만들 방법이 쉽지 않으므로 이방법은 곤란.

 

방법2) 피자의 원주길이를 이용

 

  피자 원주길이/120= 친구 한명당 돌아가는 피자 둘레의 길이

  2∏/120= ∏/60이고 ∏=3이라고 하면 대락 1/20, 소수로 나타내면 0.05가 된다.

   따라서 줄자를 가져다 5Cm단위로 잘라서 주면된다.

  120번 자를려니 짜증이 나서 못해먹겠다고 생각한 우리 학생은 12번만 잘라서

  12조각을 10명씩의 친구들에게 주면서 '니들이 알아서 먹어'라고 하려한다.

 그럼 그때의 피자 둘레의 길이는 5Cm×10=50이되지만 이걸 식으로 새워보면

      (2∏/120)×10= (2∏)×(10/120)가 된다.

이걸 일반화시킨다면

  나누어 줄 피자둘레길이 = 피자의 원주 ×(나누어줄 친구수 / 전체 친구수) 

 잘이해가 안되는 친구는 시간을 두고 곰곰이 생각해보길 바란다. 꼭 오늘이

아니어도 이해가 될 때가 있을 것이다.

 

          방법3)각도를 이용

 

 원둘레의 각은 360도인 성질을 이용해서 나눠준다면

 360/120= 친구 한명당 돌아가는 피자의 각도

 따라서 각도기를 가져다 각도 3도마다 잘라서 주면 된다.

마찬가지로 12조각으로 나누어 10명씩에게 준다면

 나누어 줄 피자각도 = 360 ×(나누어줄 친구수 / 전체 친구수)

 

결론)황색으로 표시된 두 부분을 잘보면 우리는 원둘레이길이(호)는 각도와

반지름에 비례하고 그때의 비례상수는 ∏/180 가 됨을 알수 있다.

 

 

출처 : Over Your Head

글쓴이 : 나수사 원글보기

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